POJ 3468 A Simple Problem with Integers

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做这道题起因是，无意中发现了一个叫 zkw 线段树的东西 QAQ，从下往上遍历挺有意思的，不仅非递归，而且常数很低。这题用线段树就能无脑解决吧，后来从网上发现有树状数组解决的，差分的思想可以学习。

zkw 线段树解法

线段树节点记录三个值：

  1. nc：子树的包含的点数
  2. add：对子树的每个值的加数
  3. sum：子树和，不含其父节点们的加数
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#include <cstdio>

const int MAX_M = (1 << 17) + 10;

int n, m, q;
long long sum[MAX_M << 1], add[MAX_M << 1];
int nc[MAX_M << 1];
char cmd[5];
int a, b, c, l, r, lnc, rnc;
long long res;

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &q);
  // 叶子节点（m 个）需要容纳 n + 2 个点（后来发现容纳 n + 1 个点就行）
  for (m = 1; m < n + 1; m <<= 1)
    ;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    scanf("%d", &a);
    sum[m + i] = add[m + i] = a;
    nc[m + i] = 1;
  }
  for (int i = m - 1; i > 0; --i) {
    nc[i] = nc[i << 1] + nc[i << 1 ^ 1];
    sum[i] = sum[i << 1] + sum[i << 1 ^ 1];
  }
  while (q--) {
    scanf("%s%d%d", cmd, &a, &b);
    if (cmd[0] == 'C') {
      scanf("%d", &c);
      lnc = rnc = 0;
      l = m + a - 1, r = m + b + 1;
      while (l ^ r ^ 1) {
        if (~l & 1) {
          add[l ^ 1] += c;
          sum[l ^ 1] += nc[l ^ 1] * c;
          lnc += nc[l ^ 1];
        }
        if (r & 1) {
          add[r ^ 1] += c;
          sum[r ^ 1] += nc[r ^ 1] * c;
          rnc += nc[r ^ 1];
        }
        sum[l >>= 1] += lnc * c;
        sum[r >>= 1] += rnc * c;
      }
      while (l > 1) sum[l >>= 1] += (b - a + 1) * c;
    } else {
      res = 0;
      lnc = rnc = 0;
      l = m + a - 1, r = m + b + 1;
      while (l ^ r ^ 1) {
        if (~l & 1) {
          res += sum[l ^ 1];
          lnc += nc[l ^ 1];
        }
        if (r & 1) {
          res += sum[r ^ 1];
          rnc += nc[r ^ 1];
        }
        res += lnc * add[l >>= 1] + rnc * add[r >>= 1];
      }
      while (l > 1) res += (b - a + 1) * add[l >>= 1];
      printf("%lld\n", res);
    }
  }
  return 0;
}

运行时间 1266ms。

树状数组解法

记原数组为 ai{a_i}，令 ci=ai−ai−1c_i = a_i - a_{i-1}（a0=0a_0=0），那么有 ai=∑j=1icja_i = \sum_{j=1}^{i} c_j，原题的对 [l, r] 加 v 操作就变成了改变两个数：

cl+v,cr+1−vc_l + v, c_{r + 1} - v

加下来看对 [l, r] 的和查询，方便起见，可以把结果看作 [1, r] 的和减去 [1, l - 1] 的和，即我们只需考虑 [1, x] 的和：

∑i=1xai=∑i=1x∑j=1icj=∑i=1x(x+1−i)∗ci=(x+1)∗∑i=1xci−∑i=1xi∗ci\sum_{i=1}^{x} a_i = \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{i} c_j = \sum_{i=1}^{x} (x + 1 - i) * c_i = (x + 1) * \sum_{i=1}^{x} c_i - \sum_{i=1}^{x} i * c_i

于是，我们需要在维护 ∑i=1xci\sum_{i=1}^{x} c_i 的同时维护 ∑i=1xi∗ci\sum_{i=1}^{x} i * c_i，代码里 nci=i∗cinc_i = i * c_i。

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#include <cstdio>

const int MAX_N = 100000 + 10;

typedef long long ll;

int n, q;
ll c[MAX_N], nc[MAX_N];
char cmd[5];
int a, b, v;

void add(int x, int m) {
  ll nm = (ll)x * m;
  while (x <= n) {
    c[x] += m;
    nc[x] += nm;
    x += x & (-x);
  }
}

ll get_sum(int x) {
  ll sc = 0, snc = 0;
  int ox = x;
  while (x > 0) {
    sc += c[x];
    snc += nc[x];
    x -= x & (-x);
  }
  return (ox + 1) * sc - snc;
}

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &q);
  b = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    scanf("%d", &a);
    add(i, a - b);
    b = a;
  }
  while (q--) {
    scanf("%s%d%d", cmd, &a, &b);
    if (cmd[0] == 'C') {
      scanf("%d", &v);
      add(a, v);
      add(b + 1, -v);
    } else {
      printf("%lld\n", get_sum(b) - get_sum(a - 1));
    }
  }
  return 0;
}

运行时间 969ms。

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